CONECTORES LÓGICOS Y TABLAS DE VERDAD
En el
lenguaje de la lógica proposicional, las funciones de verdad se representan
mediante conectores lógicos. Gracias a estos podemos construir nuevas
proposiciones a partir de otras.
Los
conectores lógicos reciben como argumentos valores de verdad. Así, la nueva
proposición formada por el conector tendrá uno y solo un valor de verdad que
dependerá de los valores de verdad de las proposiciones que la forman y del
tipo de conector que las une.
Conectores lógicos
Los conectores
lógicos, también conocidos como conectivos u operadores lógicos, son símbolos
que se utilizan para conectar proposiciones, creando así una nueva proposición.
Los conectores
lógicos que usamos en matemática son:
|
LENGUAJE COLOQUIAL |
LENGUAJE
SIMBÓLICO |
NOMBRE DEL CONECTOR |
|
No |
Ø ; ~ |
Negación |
|
y |
Ù |
Conjunción |
|
o |
Ú |
Disyunción inclusiva |
|
Si … entonces … |
® |
Condicional |
|
… sí y sólo sí … |
« |
Bicondicional |
|
O bien … o bien |
D |
Disyunción exclusiva |
Así como en aritmética y en álgebra se estudian operaciones entre números, en lógica se estudian operaciones entre proposiciones.
1. NEGACIÓN
La negación de una proposición p se escribe “~ p” o “Ø p” y se lee “no p” o “no es cierto que p” o “es
falso que p” y es otra proposición que niega que se cumpla p.
|
p |
~ p |
|
V |
F |
|
F |
V |
Ejemplo:
Sea la proposición: p: 4 x 3 = 12 (V)
Su negación es: ~ p: no es cierto que 4 x 3 = 12 (F)
o se puede escribir: ~ p: 4 x 3 ≠ 12 (F)
Simbólicamente: V(~ p) = F
2. CONJUNCIÓN
Dadas las proposiciones p, q, se simboliza “p Ù q” y se
lee “p y q”, sólo es verdadero cuando ambos son verdaderos, en los demás
casos siempre es falso.
|
p |
p |
p Ù q |
|
V |
V |
V |
|
V |
F |
F |
|
F |
V |
F |
|
F |
F |
F |
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 7 es un número
par
(F)
q: 7 es menor que
5
(F)
p Ù q: 7 es un número par y 7 es menor que 5
(F)
Simbólicamente: V(p Ù q) = F
NOTA: En toda proposición, las palabras: “pero”,
“sin embargo”, “además”, “no obstante”, “aunque”, “a la vez”, etc.
Equivalen al conectivo ” Ù “
3. DISYUNCIÓN INCLUSIVA
Dadas dos proposiciones p, q
se escribe “p Ú
q” y se lee “p o q”, sólo es falso cuando ambos son falsos, en los demás
casos siempre es verdadero.
|
p |
p |
p Ú q |
|
V |
V |
V |
|
V |
F |
V |
|
F |
V |
V |
|
F |
F |
F |
Ejemplo:
Dadas las proposiciones:
p: 4 <
7
(V)
q: 4 =
7
(F)
p Ú q: 4 < 7 ó 4
= 7
(V)
Simbólicamente: V(p Ú q) = V
4. CONDICIONAL
Dadas dos proposiciones p, q
se escribe “p ®
q” y se lee “si p entonces q” o “p implica q” o “p es suficiente para que q”,
etc., sólo es falso cuando el primero es verdadero y el segundo es falso,
en los demás casos siempre es verdadero.
( p = antecedente y q
= consecuente)
|
p |
p |
p ® q |
|
V |
V |
V |
|
V |
F |
F |
|
F |
V |
V |
|
F |
F |
V |
Ejemplo:
p ® q : Si gano las
elecciones entonces bajaré el precio de los combustibles
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 3 es un número primo
(V)
q: 31 es un número par
(F)
p ® q : si 3 es un
número primo entonces 31 es un número
par (F)
Simbólicamente: V(p ® q) = F
NOTA: En toda proposición las palabras: “porque”,
“puesto que”, “ya que”, “siempre que”, “cuando”, “si”, “cada vez que”, “dado
que”, son conectivos que representan a la condicional. Se
caracterizan porque después de cada uno de estos términos está el antecedente
Ejemplo:
No jugué porque llegué tarde
~ p: no jugué (consecuente)
q: llegué tarde
(antecedente)
Simbólicamente: q ® ~ p
5. BICONDICIONAL
Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p « q” y se
lee “p si y solo si q”, es verdadero cuando los valores de verdad son
iguales y es falso cuando los dos valores de verdad son diferentes.
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p |
p |
p « q |
|
V |
V |
V |
|
V |
F |
F |
|
F |
V |
F |
|
F |
F |
V |
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 3 < 7
(V)
q: 3 + 5 ≠ 7
+ 5
(V)
p « q: 3 < 7 si y
solamente si 3 + 5 ≠ 7 + 5 (V)
Simbólicamente: V(p « q) = V
6. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
Dadas las proposiciones p, q se escribe “p D q” y se
lee “o bien p o bien q”, es falso si los valores de verdad de las
proposiciones son iguales y es verdadero si los valores de verdad de las proposiciones
son diferentes.
|
p |
p |
p D q |
|
V |
V |
F |
|
V |
F |
V |
|
F |
V |
V |
|
F |
F |
F |
Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 4 > 7
(F)
q: 4 < 7
(V)
p D q: o bien 4 > 7 o bien 4
< 7 (V)
Simbólicamente: V(p D q) = V
PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICAS
Tablas de verdad
Representaremos
los conectores mediante las llamadas Tablas de Verdad. Cada fila representa una
posible combinación de valores de verdad, o lo que es lo mismo, las posibles
interpretaciones de dos variables proposicionales (p y q). En la última columna
aparecerá el valor resultado de la función de verdad.
¿Cómo ayudan las tablas de verdad en la vida
diaria?
Las tablas de verdad son una herramienta que nos
ayudan a determinar cuáles son las condiciones necesarias para que una proposición
compuesta o molecular sea verdadera o válida. Estas se usan como
respaldo para tomar decisiones a partir de un resultado dado.
¿Cuáles son los resultados de una tabla de
verdad?
Los posibles resultados de una tabla de verdad son:
tautología, contradicción o contingencia.
TAUTOLOGÍA
A toda proposición simple o compuesta cuyo valor es
siempre VERDADERO para cualquier combinación de valores veritativos de
sus componentes se le llama TAUTOLOGÍA y se denota simplemente por V.
Tabla de Verdad TAUTOLOGIA: https://youtu.be/O7VfNjZu3ew
Tabla de Verdad TAUTOLOGIA: https://youtu.be/6pvbudmIA_s
CONTRADICCIÓN
A toda proposición que es siempre FALSA para todas las
combinaciones de valores veritativos de sus componentes se le llama CONTRADICCIÓN,
y se denota simplemente por F.
Tabla de verdad con 2 proposiciones con resultado CONTRADICCION:
Tabla de Verdad CONTRADICCION: https://youtu.be/iYonbw1xQh4
CONTINGENCIA
Si en una proposición, la columna resultado de la tabla
de verdad contiene al menos un VERDADERO (V) y al menos un FALSO (F)
recibe el nombre de CONTINGENCIA.
Tabla de Verdad CONTINGENCIA: https://youtu.be/ba1Kz5Dz4Gs
